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因为数列中的任意一項都等于相邻两项的几何平均数，所以又名几何数列
这里把“几何数列”的性质说错了：并不是所有等比数列的每一项都等于相邻两项的几何平均数。公比为负时，中间项可以是负数，而几何平均在实数范围内要求各数为正。
Full reasoning
这句话把一个只在正项情形下成立的性质，说成了所有等比数列都成立。
OpenStax 给出的标准例子表明，等比数列完全可以有负公比，例如 \{2,-6,18,-54,162,\dots\}。但 OpenStax 关于几何平均的定义又明确指出：几何平均公式要求所有数字都 大于 0。
于是，在这个合法的等比数列里：
- 相邻两项
2和18的几何平均是√(2×18)=6； - 中间项却是
-6。
所以，等比数列的一般正确关系是 a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}，或写成 a_n=±√(a_{n-1}a_{n+1})；只有当相关各项都为正时，才能直接说中间项等于相邻两项的几何平均。
2 sources
- 3.11 Geometric Sequences - Contemporary Mathematics | OpenStax
Now, look at this geometric sequence: { 2 , − 6 , 18 , − 54 , 162 , − 486 , 1458... } Each term is the previous term times −3, and the sign of the terms alternate from positive to negative.
- 2.5 Geometric Mean - Introductory Business Statistics 2e | OpenStax
Finally, we note that the formula for the geometric mean requires that all numbers be positive, greater than zero.
{ log b ( a n ) } 是一個等差數列
这条结论缺少必要条件，按原文写法并不总成立。只有当所有 aₙ 都为正、且对数底 b 满足 b>0 且 b≠1 时，取对数后才会得到等差数列。
Full reasoning
按实数范围讨论时，这个断言作为无条件命题是错误的。
OpenStax 给出过合法的等比数列例子 \{2,-6,18,-54,\dots\}，说明等比数列可以含有负项。但 OpenStax 对对数函数的定义明确要求：x>0, b>0, b\ne 1，也就是说，log_b(a_n) 只有在 a_n 为正且底数 b 合法时才有定义。
因此，对上面的等比数列取 \log_b(a_n) 时，像 \log_b(-6)、\log_b(-54) 这样的项在实数范围内根本没有定义，更谈不上形成等差数列。
这个性质的正确表述应当加上条件：若等比数列各项都为正，且 b>0, b\ne 1，那么 \{\log_b(a_n)\} 才是等差数列。
2 sources
- 3.11 Geometric Sequences - Contemporary Mathematics | OpenStax
Now, look at this geometric sequence: { 2 , − 6 , 18 , − 54 , 162 , − 486 , 1458... } Each term is the previous term times −3, and the sign of the terms alternate from positive to negative.
- 6.3 Logarithmic Functions - College Algebra | OpenStax
For x>0,b>0,b\ne 1, y=log_b(x) is equivalent to b^y=x ... No. Because the base of an exponential function is always positive, no power of that base can ever be negative. We can never take the logarithm of a negative number. Also, we cannot take the logarithm of zero.