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在线性代数中，**行向量（row vector）是 $1\times n$ 矩阵，而列向量（column vector）**是 $m\times 1$ 矩阵。MathWorld 的 Row Vector 与 Column Vector 都直接给出了这个定义；其 Matrix 条目也明确说明：$m\times1$ matrix is called a column vector, and $1\times n$ matrix is called a row vector。

因此，文中的这句话把二者完全写反了：

• $1\times3$ 应是行向量，不是列向量；
• $3\times1$ 应是列向量，不是行向量。

顺便说，后面这个乘法本身 $[1\ 3\ -5],[4\ -2\ -1]^T=3$ 是对的，错误在于对矩阵形状名称的标注。

权威数学参考并不把点积的几何解释限制在 $n\le 3$。

• MathWorld 的 Dot Product 先给出几何公式 $X\cdot Y=|X||Y|\cos\theta$，随后明确写出“一般地（so, in general）”
  $$X\cdot Y=\sum_{i=1}^n x_i y_i,$$
  也就是把同一个概念直接推广到 $n$ 维向量。
• Encyclopedia of Mathematics 的 Inner product 也同时给出：
  • 几何公式：内积等于两向量长度与夹角余弦的乘积；
  • 代数公式：对两个 $n$ 维向量，$(a,b)=a_1b_1+\dots+a_nb_n$；
  • 并且明确说 inner product can be defined in arbitrary dimensions（可以在任意维定义）。

因此，把“点积的几何解释”说成通常只适用于 $\mathbb R^n$ 且 $n\le 3$，是不对的。真正只在三维空间中特别常见、且有维度限制的是叉积/向量积，不是点积。

由点积公式
$$a\cdot b=|a||b|\cos\theta$$
可知，当 $a\cdot b<0$ 时，只能推出 $\cos\theta<0$，也就是夹角 $\theta$ 是钝角：$90^\circ<\theta<180^\circ$。MathWorld 的 Obtuse Angle 把钝角定义为大于 $90^\circ$ 且小于 $180^\circ$ 的角。

但“方向相反”通常指两个向量反向共线，即夹角恰好是 $180^\circ$。负点积远远不够推出这一点。

一个简单反例：

• $a=(1,0)$
• $b=(-1,1)$

则 $a\cdot b=-1<0$，但 $b$ 并不是 $a$ 的反方向倍数，它们夹角是 $135^\circ$，只是钝角，不是“方向相反”。

所以更准确的表述应是：点积大于 0 表示夹角为锐角，点积小于 0 表示夹角为钝角，点积等于 0 表示正交。

这句话至少在复向量空间的情形下是错误的。Encyclopedia of Mathematics 的 Inner product 明确写道：

• 对实数域上的 $n$ 维向量，内积是
  $$ (a,b)=a_1b_1+\dots+a_nb_n; $$
• 在复数情形，则是
  $$ (a,b)=a_1\overline{b_1}+\dots+a_n\overline{b_n}. $$

也就是说，到了“其他的域”时，公式并不总是还是 $\sum a_i b_i$；复数域上必须带共轭，才能满足正定性等内积公理。

而且同一维度的实向量空间上也并非只有这一种内积。该词条同一来源还指出，更一般地，实向量空间上的内积是对称正定双线性形式。这意味着除了标准坐标内积外，还存在许多其他内积（例如由正定矩阵给出的加权内积）。

因此，把“高维空间、其他域或模中的点积”说成只有这一种定义，且统一写成 $\sum a_i b_i$，并不成立。